양자역학 재수강하다가 적분 멍청이인 나를 보고 현타 와서 기록 중
이렇게 암것도 기억이 안 날 수가 있다니 정말 놀랍다
맨날 부분적분 때리다가 무한 적분의 굴레에 빠진 나를 보고 어이가 없어졌다
사실 전자기학할 때도 적분이 제일 귀찮았는데 이땐 살짝 무식하게 암기로 밀어붙여서 겨우 넘어갔더니 양자역학에선 더욱 노답이 되어버렸음
암튼 양자역학 제일 초반부를 공부하다 보면 파동 함수를 Normalization을 해야 하는 파트가 나온다
여기서 맨날 파동함수를 제곱해서 계산해줘야 하는데 보통
이런 식의 초월함수의 적분이 나왔을 때 시간을 많이 잡아먹었다
다항식, 삼각함수 다 많이 나오는데 내가 제일 못하는 게 대부분
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx$$
이 적분에서부터 시작해서
앞에 짝수차승 x가 곱해져 있는
$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}dx$$
이런 식이나
홀수차승 x가 곱해져 있는
$$\int_{0}^{\infty} x e^{-\alpha x^{2}}dx$$
이런 애들이 날 너무 화나게 했음
정신 붙잡고 공부하다 보니 맨 처음 식인 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx\) 만 잘 알고 있으면 응용해서 도출해내면 되는 거였다
(나만 몰랐다면 ㅈㅅㅎㄴㄷ)
\( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx \) 계산
얘는 극좌표를 도입해서 계산해줘야 한다
그냥 암생각없이 적분때리면 조금 당황스러운 친구
먼저 저 결과 값을 I로 놓는다
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx=I $$
그럼 이걸 제곱해주면
$$ I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}dx\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha y^{2}}dy=\int_{}^{} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha (x^{2}+y^{2})}dxdy $$
이건 다 극좌표를 쓰기 위한 큰 그림인데 극좌표 변환에 대한 설명은 위키백과만 쳐도 금방 나오니까 생략하겠다
위 적분의 (x,y)를 (r, \(\theta\) )로 바꿔주면
$$ I^{2}=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha r^{2}}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha r^{2}}r dr $$
극좌표로 바꾸고 나니 치환적분 하기에 좋은 꼴이 딱 보인다
저 e의 차수에 들어가있는 놈을 t로 치환해줄거라 \( \alpha r^{2}=t \) 꼴로 치환해주면,
미분한 건 \( 2\alpha rdr=dt \) 고 요 두 개를 이용해서 적분을 해준다
$$ I^{2}=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\frac{dt}{2\alpha}=\frac{1}{2\alpha}\int_{0}^{\infty} e^{-t}dt=\frac{1}{2\alpha}[0-(-1)]=\frac{1}{2\alpha} $$
원래 구해야 하는 건 I니까 위 결과값에 루트를 씌워주면
$$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} $$
생각보다 결과 자체는 엄청 간단한 편~~~
이걸 좀만 응용해보면 범위가 쁠마 무한대가 아니라 0에서 무한대까지 등의 식으로도 응용해볼 수 있는데,
지금까지 적분한 \( e^{-\alpha x^{2}} \) 은 정규분포 함수로 x=0에 대해 대칭인 함수다
대충 이렇게 생긴 앤데 당연히 -무한대에서 +무한대까지 적분하던 걸 0에서 무한대까지 적분을 한다면 위에서 구한 값의 절반을 구해주면 된다
$$ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} $$
매우매우 간단쓰
그리고 이 적분을 이용해서 또 구할 수 있는 게 바로
\( \int_{-\infty}^{\infty} x^{2}e^{-\alpha x^{2}}dx \) 계산
앞에서 구한 함수 앞에 x의 짝수차 제곱이 붙은 친구들의 제곱이다
(수식쓰다 지쳐서 그만둠 이어쓸 예정)