CH.5 Magnetostatics - 1. The Lorentz Force Law - (1)

** 본 내용은 학부생이 수업내용을 복습하며 공부한 내용으로 틀린 내용이 있을 수 있습니다 **

 

CH.5 Magnetostatics

1. The Lorentz Force Law

(1) Magnetic field

 

정전기학과 정자기학은 용어를 정의하고 전개해나가는 방식이 비슷하다.

정전기학의 경우 저번 학기에 배운 거라 따로 포스팅을 하지는 못했지만, 자기학 공부를 하면서 계속 비교해보며 공부를 해볼 예정이다

정전기학

정자기학

전기력 정의 전하들이 고정되어 있는 경우, 각 전하들에 작용하는 힘인 쿨롱 force, 전기력이 존재한다. 전기력은 인력, 척력 2가지가 존재한다. 전하: 전기적 성질을 띠는 입자로, (+)전하와 (-)전하가 존재한다. ↓ 전기력을 통해 전기장 정의 $\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$ 전기장의 경우 쿨롱힘과 방향이 나란하다. ↓ 전위 정의

자기력 정의 자기력은 인력, 척력 2가지가 존재한다. 자기적 성질을 나타내는 N극과 S극이 존재한다. 이때, N극과 S극은 전하처럼 분리해서 볼 수 없다. 양 끝에 N극과 S극을 띠는 자석 가운데를 자르면 각각 다시 N극과 S극을 갖는다. 원자 단위로 쪼개도 monopole은 발견되지 않고, 자기 쌍극자 형태로 공존한다. ↓ 자기력 통해 자기장 정의 자기장 $\overrightarrow{B}$ 영역에서 속도 $\overrightarrow{V}$로 움직이는 전하 q가 받는 자기력 $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}=qvB\sin\theta$ 전기장과 자기장이 함께 있을 때 전하 q가 받는 자기력 $\overrightarrow{F}=q[\overrightarrow{E}+(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B})]$ 자기장은 속도와 힘 벡터의 외적 방향 ↓ ??

 

자기력이란 힘의 형태는 자기장에 의해 정해진다.

$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}=qvB\sin\theta$

위 식의 경우 자기장 안에서 자기력 $\vec{F}$를 받으려면 전하가 속도 $\vec{v}$로 움직여야 함을 보여준다.

자석 사이에 입자가 놓였을 때 N극에서 S극 방향으로 자기장 $\vec{B}$가 생성되고, 속도 $\vec{v}$로 움직이고 있다면

자기력 $\vec{F}$는 두 벡터의 외적 방향으로 작용한다.

 

이때, 일을 잠시 살펴보면

$dW=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}$

일이란, 힘과 이동방향을 내적 한 것으로 '힘과 나란한 방향으로 얼마나 이동했는가?"를 나타낸다.

이를 자기력에 대해 생각해보면

자기력은 움직이는 방향과 수직이므로

$dW=q(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B})\cdot\overrightarrow{v} dt = 0$

즉, 자기력이 실제 하는 일은 없다.

 

 

Force on a current-carrying conductor: 자기장 속에서 전류가 흐르는 도선이 받는 힘

도선을 흐르는 각각의 전하가 받는 자기력이 합쳐져야 전체 자기력을 구할 수 있다.

$F=q\vec{v}\times\vec{B}=qvB\sin\theta$

위의 식을 하나씩 뜯어보면

- $q = N\times e = nAl \times e$ 

q는 길이 l인 도선 내에 있는 모든 전하이므로 '전하를 띠는 입자'가 '총 몇 개'있는지를 나타내야 한다.

총 전하 개수 X전하량으로 나타내면 $N\times e$

이때 총전하의 개수 N은 전하 개수 밀도 n과 부피 V의 곱인 $N = n\times V$N = n\times V = n \times Al$로 나타낼 수 있다.

- $\vec{v}$와 $\vec{B}$의 방향이 동일하므로 $\sin\theta = 1$

- v를 유동 속도 $v_{d}$로 나타냄

 

즉, $F=qvB\sin\theta =(nAle)v_{d}B$

이때 $I =nAlev_{d}$ 이므로

$F=qvB\sin\theta =(nAle)v_{d}B = IlB$

방향을 고려하면

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}l\times\overrightarrow{B}$

 

 

위의 경우처럼 도선이 직선이 아닌 곡선이라면, 곡선 도선을 잘게 나누어 조각을 전부 더하면 된다.

$d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}dl\times\overrightarrow{B}$

 

 

간단한 문제를 통해 이해해 보면

지면 안으로 들어가는 자기장 영역 속에서 와이어가 반원 모양으로 구부러져 있을 때, 반지름은 R이고 여기엔 전류 I가 흐르고 있다.

전류의 방향과 지면 안쪽으로 들어가는 자기장의 방향을 고려하면

둘을 외적 했을 때 반원의 반지름이 늘어나는 방향으로 자기력이 작용하는 것을 알 수 있다.

 

이제 작은 도선이 받는 힘 dF를 먼저 구해서 적분해 F를 구하면 된다

위의 식을 이용하면 $d\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}dl\times\overrightarrow{B}$

이때 y축에 대해 대칭인 $d\overrightarrow{F}$를 합친다고 생각해보면

x 방향 힘은 서로 반대 방향이라 상쇄가 되고, 같은 방향 힘인 y축 방향 힘만 합쳐지는 걸 알 수 있다.

따라서 $dF_{y}$를 먼저 구해서 적분해 $F_{y}$를 구하면 된다

 

dl은 부분 도선에 해당하는 현의 길이 이므로 $dl=Rd\theta$

즉, $dF_{y}=I\times Rd\theta\times B\sin\theta$

 

$dF_{y}$를 적분해 $F_{y}$를 구하면

$F_{y}=IRB\int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta=IRB\times 2 = I(2R)B$

 

 

The Lorentz Force Law

자기력을 정의하고 나면 이번엔 Lorentz힘이 나온다. 

이 힘은 좀 더 뒤에서 다시 다룰 거지만 간단히 말하면 전기장과 자기장이 함께 있을 때 전하 q가 받는 알짜 힘이다.

로렌츠 힘의 식을 먼저 써보면 

$\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$

$\vec{v}\times\vec{B}$ 항을 통해 자기력은 움직이는 방향에 수직임을 알 수 있다